مخاطر الذيل بتوزيع GPD في نماذج الكوارث

نماذج التكرار والشدة هي الطريقة التي تضع بها شركات التأمين، ومعيدو التأمين، والبنوك بشكل متزايد، أرقاماً للكوارث. جانب التكرار سهل نسبياً — عمليات بواسون، وتعديلات التشتت الزائد، والموسمية. أما جانب الشدة فهو المكان الذي تجني فيه النماذج رسومها وتفقد مصداقيتها، لأن الذيل هو موطن الملاءة المالية وحيث تكون البيانات في أندر حالاتها.

أداة العمل الأساسية للذيل هي توزيع باريتو العام (GPD) المطبق فوق عتبة مختارة — وهو نهج القمم فوق العتبة (peaks-over-threshold) من نظرية القيم المتطرفة. تحت شروط ضعيفة إلى حد ما، تتقارب التجاوزات فوق عتبة عالية بما يكفي إلى GPD بغض النظر عن توزيع الخسارة الأساسي. هذا هو الخبر السار. أما بقية هذه المذكرة فتتعلق بالأجزاء الصعبة.

لماذا يهم الذيل بشكل غير متناسب

بالنسبة لمحفظة الكوارث الطبيعية النمطية، تقع معظم الأحداث في "جسم" ضخم (خسائر حرائق المنازل الفردية، الرياح الطفيفة، الفيضانات الصغيرة) وعدد قليل من أحداث الذيل هي التي تحرك خسارة 1 في 200 أو 1 في 500 سنة. وتهتم كل من رأس المال التنظيمي وتسعير إعادة التأمين بهذا الذيل بشكل حصري تقريباً. إن ضبط الجسم والخطأ في الذيل ينتج نموذجاً يناسب التاريخ بشكل جيد ولكنه يقلل من رأس المال بشكل كبير.

اختيار العتبة — الخطوة الأصعب

يكون توزيع GPD صحيحاً بشكل تقاربي فقط فوق عتبة "عالية بما يكفي". إذا اخترت العتبة منخفضة جداً، فستتلوث المطابقة ببيانات الجسم؛ وإذا اخترتها عالية جداً، فستنفد التجاوزات وسيتم تقدير معيار الشكل من "الضوضاء".

أهم تشخيصين للعمل:

• رسم متوسط التجاوز (Mean excess plot). فوق عتبة صالحة، يجب أن يكون متوسط التجاوزات فوق أي مستوى أعلى خطياً تقريباً عند ذلك المستوى. ابحث عن النقطة التي يصبح فيها الرسم بيانياً خطياً بشكل مستقر.
• رسم استقرار المعايير (Parameter stability plot). قم بمطابقة GPD عند مجموعة من العتبات وارسم معيار الشكل ξ مقابل العتبة. تقع العتبة الصحيحة داخل منطقة يكون فيها ξ ثابتاً تقريباً.

لا يعطي أي من التشخيصين إجابة واحدة. اختيار العتبة هو قرار تقديري، ويجب توثيقه، واختبار حساسيته، وإعادة النظر فيه عندما يمتد تاريخ الخسائر. والنموذج الذي يعيد اختيار العتبة بهدوء كل عام للحفاظ على استقرار الأرقام ليس نموذج ذيل حقاً — بل هو تمرين تنعيم.

معيار الشكل هو كل شيء

يتحكم معيار شكل GPD (ξ) في سرعة تلاشي الذيل.

• ξ < 0: ذيل محدود، لا يمكن أن تتجاوز الخسائر حداً أقصى معيناً. نادر في أعمال الكوارث.
• ξ = 0: ذيل أسي. معتدل.
• ξ > 0: ذيل ثقيل من نوع باريتو. كل محفظة كوارث تستحق النمذجة تنتهي هنا.

قد لا يبدو الفرق بين ξ بقيمة 0.2 مقابل 0.4 كبيراً. ولكن في فترة عودة مدتها 200 عام، يمكن أن يضاعف تقدير الخسارة. وهذا هو السبب في أن ξ يحتاج إلى فاصل ثقة حقيقي — وليس مجرد تقدير نقطي لأقصى احتمال يتم الإبلاغ عنه بثلاثة أرقام عشرية — ولماذا يعد عدم اليقين في المعايير جزءاً من قصة المخصصات، وليس فكرة لاحقة.

عدم اليقين في المعايير خطر من الدرجة الأولى

عدد تجاوزات الذيل صغير بحكم الطبيعة — وهذا ما يجعلها أحداث ذيل. ومطابقة GPD بمعيارين لـ 40 أو 60 تجاوزاً يعطي فترات ثقة واسعة لكلا المعيارين. وتجاهل هذا اليقين والإبلاغ عن رقم وحيد لـ 1 في 200 يعطي دقة زائفة ستنهار في المرة الأولى التي يقع فيها حدث حقيقي خارج التاريخ السابق.

أداتان عمليتان:

• فترات ثقة أرجحية الملف الشخصي (Profile likelihood) لـ ξ ومستوى العودة. هذه الفترات غير متماثلة ونزيهة؛ بينما تعطي فترات الخطأ المعياري تغطية أقل من اللازم في حالة الذيل الثقيل.
• فترات مستوى العودة القائمة على Bootstrap. مفيدة بشكل خاص لتوصيل عدم يقين الذيل لجمهور غير متخصص في التحليل الكمي.

المناخ أصبح الآن مشكلة أساسية

لم يعد التكرار والشدة التاريخيان قاعدة موثوقة للمستقبل. تكرار الأعاصير في شمال المحيط الأطلسي، وتجمع العواصف الريحية الأوروبية، وشدة حرائق الغابات في غرب الولايات المتحدة، وتكرار الفيضانات في معظم الأحواض الداخلية — كلها تظهر اتجاهات تكسر افتراض الثبات (stationarity) المضمن في مطابقة GPD التقليدية. وقد أصبح هناك استجابتان قياسيتان:

1. إزالة الاتجاه من تاريخ الخسائر إلى خط أساس مناخي مشترك قبل المطابقة، ثم إعادة الإسقاط على خط أساس تطلعي.
2. وضع طبقة من سيناريوهات المناخ فوق المعايير المطابقة، مسترشدة بمجموعات سيناريوهات RCP أو SSP (أو سيناريوهات NGFS للبنوك).

لا شيء منهما مثالي. ولكن كلاهما أفضل من تجاهل المشكلة.

كيف يبدو نموذج الذيل الذي يمكن الدفاع عنه

• اختيار العتبة مبرر برسومات متوسط التجاوز واستقرار المعايير، ومختبر من حيث الاستقرار.
• الإبلاغ عن معيار الشكل مع فاصل ثقة لأرجحية الملف الشخصي، وليس مجرد تقدير نقطي.
• توصيل عدم يقين مستوى العودة كفاصل زمنني واستكشافه بواسطة bootstrap.
• اختبار افتراض الثبات، وعندما ينكسر، استبداله بإزالة اتجاه صريحة أو طبقة إضافية.
• مطابقة مخرجات النموذج مع تعاقدات إعادة التأمين الفعلية وأي نموذج بائع خارجي، مع التحقيق في الاختلافات بدلاً من مجرد أخذ متوسطها.

تعد نمذجة الكوارث واحدة من الأماكن القليلة جداً في التمويل الكمي حيث تكمن 90% من الإجابة في آخر 5% من البيانات. وهذا ما يجعلها صعبة. وهو أيضاً ما يجعل الاختصارات هنا — عتبة واحدة، تقدير نقطي رئيسي، مطابقة ثابتة — مكلفة للغاية في اليوم الذي يقع فيه حدث حقيقي.