Riesgo de cola GPD en modelos de catástrofes

Los modelos de frecuencia-severidad son la forma en que las aseguradoras, las reaseguradoras y, cada vez más, los bancos ponen cifras a las catástrofes. El lado de la frecuencia es comparativamente sencillo —procesos de Poisson, ajustes de sobredispersión, estacionalidad—. El lado de la severidad es donde los modelos se ganan sus honorarios y pierden su credibilidad, porque en la cola es donde reside la solvencia y donde los datos son más escasos.

El caballo de batalla para la cola es la Distribución de Pareto Generalizada (GPD) aplicada por encima de un umbral elegido —el enfoque de picos sobre umbral (peaks-over-threshold) de la teoría de valores extremos—. Bajo condiciones bastante débiles, los excesos sobre un umbral suficientemente alto convergen a una GPD independientemente de la distribución de pérdidas subyacente. Esa es la buena noticia. El resto de esta nota trata sobre las partes incómodas.

Por qué la cola importa desproporcionadamente

Para una cartera típica de catástrofes naturales, la mayoría de los eventos se sitúan en un cuerpo grueso (pérdidas por incendio en vivienda unifamiliar, viento menor, inundaciones pequeñas) y un pequeño número de eventos de cola determina la pérdida a 1-en-200 o 1-en-500. Tanto el capital regulatorio como la tarificación de reaseguro se preocupan casi exclusivamente por esa cola. Acertar en el cuerpo y equivocarse en la cola produce un modelo que se ajusta bien al histórico y subestima el capital de forma dramática.

Elegir el umbral: el paso más difícil

La GPD solo es asintóticamente cierta por encima de un umbral "suficientemente alto". Si el umbral se elige demasiado bajo, el ajuste se contamina con datos del cuerpo; si se elige demasiado alto, se quedan pocos excesos y el parámetro de forma se estima a partir de ruido.

Los dos diagnósticos habituales:

• Gráfico de exceso medio (mean excess plot). Por encima de un umbral válido, la media de los excesos sobre cualquier nivel superior debería ser aproximadamente lineal en ese nivel. Hay que buscar el punto en el que el gráfico se vuelve establemente lineal.
• Gráfico de estabilidad de parámetros. Ajustar la GPD en un rango de umbrales y representar el parámetro de forma ξ frente al umbral. El umbral correcto se sitúa dentro de una región donde ξ es aproximadamente constante.

Ninguno de los dos diagnósticos da una respuesta única. La elección del umbral es un juicio experto, y debe documentarse, someterse a análisis de sensibilidad y revisarse cuando el histórico de pérdidas se amplía. Un modelo que cada año vuelve a elegir el umbral silenciosamente para mantener las cifras estables no es realmente un modelo de cola: es un ejercicio de suavizado.

El parámetro de forma lo es todo

El parámetro de forma ξ de la GPD gobierna la rapidez con la que decae la cola.

• ξ < 0: cola acotada, las pérdidas no pueden superar un máximo finito. Poco frecuente en el trabajo con catástrofes.
• ξ = 0: cola exponencial. Moderada.
• ξ > 0: cola pesada de tipo Pareto. Toda cartera de catástrofes que merezca la pena modelar termina aquí.

Un ξ de 0,2 frente a 0,4 no parece una gran diferencia. En un periodo de retorno de 200 años puede duplicar la estimación de pérdida. Por eso ξ necesita un intervalo de confianza genuino —no una estimación puntual de máxima verosimilitud reportada a tres decimales— y por eso la incertidumbre de los parámetros forma parte del relato de las provisiones, no una idea de último momento.

La incertidumbre de los parámetros es un riesgo de primer orden

El número de excesos de cola es pequeño por construcción —eso es lo que los convierte en eventos de cola—. Ajustar una GPD de dos parámetros a 40 o 60 excesos da intervalos de confianza amplios en ambos parámetros. Ignorar esta incertidumbre y reportar una única cifra de 1-en-200 da una falsa precisión que se derrumbará la primera vez que un evento real caiga fuera del histórico previo.

Dos herramientas prácticas:

• Intervalos de confianza de verosimilitud perfilada para ξ y el nivel de retorno. Son asimétricos y honestos; los intervalos basados en el error estándar subestiman la cobertura en el caso de cola pesada.
• Intervalos de nivel de retorno basados en bootstrap. Especialmente útiles para comunicar la incertidumbre de la cola a una audiencia no cuantitativa.

El clima es ahora un problema de primer orden

La frecuencia y severidad históricas ya no son una base fiable para el futuro. La frecuencia de huracanes en el Atlántico Norte, la agrupación de tormentas de viento europeas, la severidad de los incendios forestales en el oeste de Estados Unidos, la frecuencia de inundaciones en la mayoría de las cuencas interiores —todos muestran tendencias que rompen el supuesto de estacionariedad implícito en un ajuste GPD ingenuo. Dos respuestas se han convertido en estándar:

1. Eliminar la tendencia del histórico de pérdidas hasta una línea base climática común antes de ajustar, y luego reproyectar sobre una línea base prospectiva.
2. Superponer un escenario climático sobre los parámetros ajustados, informado por conjuntos de escenarios RCP o SSP (o escenarios NGFS para los bancos).

Ninguna es perfecta. Ambas son mejores que ignorar el problema.

Cómo se ve un modelo de cola defendible

• Elección del umbral justificada por gráficos de exceso medio y de estabilidad de parámetros, y sometida a pruebas de estabilidad.
• Parámetro de forma reportado con un intervalo de confianza de verosimilitud perfilada, no una estimación puntual.
• Incertidumbre del nivel de retorno comunicada como un intervalo y explorada mediante bootstrap.
• Supuesto de estacionariedad puesto a prueba y, cuando se rompe, sustituido por una eliminación de tendencia o una superposición explícita.
• Resultado del modelo conciliado con las colocaciones de reaseguro reales y con cualquier modelo externo de proveedor, investigando las divergencias en lugar de promediarlas.

La modelización de catástrofes es uno de los pocos lugares en las finanzas cuantitativas donde el 90% de la respuesta se encuentra en el último 5% de los datos. Eso es lo que la hace difícil. También es lo que hace tan costosos los atajos —un único umbral, una estimación puntual titular, un ajuste estacionario— el día en que llega un evento real.