Хвостовой риск GPD в моделях катастроф

Модели «частота-тяжесть» — это способ, которым страховщики, перестраховщики и всё чаще банки выражают катастрофы в цифрах. Сторона частоты сравнительно проста — процессы Пуассона, поправки на избыточную дисперсию, сезонность. Сторона тяжести — это место, где модели зарабатывают свои гонорары и теряют доверие, потому что именно в хвосте живёт платёжеспособность и именно там данных меньше всего.

Рабочая лошадка для хвоста — обобщённое распределение Парето (GPD), применяемое выше выбранного порога, — подход «превышений над порогом» из теории экстремальных значений. При достаточно слабых условиях превышения над достаточно высоким порогом сходятся к GPD независимо от лежащего в основе распределения убытков. Это хорошая новость. Остальная часть этой заметки посвящена неудобным деталям.

Почему хвост имеет непропорционально большое значение

Для типичного портфеля природных катастроф большинство событий располагается в «жирном теле» распределения (пожары в частных домах, слабый ветер, небольшие наводнения), а небольшое число хвостовых событий определяет убыток уровня «1 раз в 200» или «1 раз в 500» лет. И регуляторный капитал, и ценообразование перестрахования почти исключительно зависят от этого хвоста. Модель, хорошо описывающая тело распределения, но ошибающаяся в хвосте, прекрасно подгоняется под историю и драматически занижает капитал.

Выбор порога — самый сложный шаг

GPD верно лишь асимптотически, выше «достаточно высокого» порога. Если выбрать порог слишком низким, подгонка загрязняется данными тела распределения; если слишком высоким — превышений становится слишком мало, и параметр формы оценивается по шуму.

Два основных диагностических инструмента:

• График среднего избытка. Выше корректного порога среднее превышений над любым более высоким уровнем должно быть приблизительно линейным по этому уровню. Нужно искать точку, где график становится стабильно линейным.
• График устойчивости параметров. GPD подгоняется на диапазоне порогов, и параметр формы ξ строится в зависимости от порога. Правильный порог находится в области, где ξ примерно постоянен.

Ни один из этих инструментов не даёт единственного ответа. Выбор порога — это экспертное суждение, и его следует документировать, проверять на чувствительность и пересматривать по мере расширения истории убытков. Модель, которая незаметно перевыбирает порог каждый год, чтобы сохранить стабильность цифр, на самом деле не является моделью хвоста — это упражнение по сглаживанию.

Параметр формы — это всё

Параметр формы ξ распределения GPD определяет, насколько быстро убывает хвост.

• ξ < 0: ограниченный хвост, убытки не могут превысить некоторый конечный максимум. Редкость в катастрофическом моделировании.
• ξ = 0: экспоненциальный хвост. Умеренный случай.
• ξ > 0: тяжёлый хвост парето-типа. Любой катастрофический портфель, достойный моделирования, в итоге оказывается именно здесь.

Разница между ξ, равным 0,2 и 0,4, не выглядит существенной. Но на горизонте возврата в 200 лет она способна удвоить оценку убытка. Именно поэтому ξ нуждается в подлинном доверительном интервале — а не в точечной оценке максимального правдоподобия с тремя знаками после запятой, — и именно поэтому неопределённость параметров является частью истории резервирования, а не второстепенным дополнением к ней.

Неопределённость параметров — риск первого порядка

Число хвостовых превышений мало по самой своей природе — именно это и делает их хвостовыми событиями. Подгонка двухпараметрического GPD по 40–60 превышениям даёт широкие доверительные интервалы для обоих параметров. Игнорирование этой неопределённости и представление единственной цифры «1 раз в 200 лет» создаёт ложную точность, которая рухнет при первом же реальном событии, выходящем за пределы прежней истории.

Два практических инструмента:

• Доверительные интервалы профильного правдоподобия для ξ и уровня возврата. Они асимметричны и честны; интервалы на основе стандартной ошибки недооценивают неопределённость в случае тяжёлого хвоста.
• Интервалы уровня возврата на основе бутстрэпа. Особенно полезны для донесения хвостовой неопределённости до аудитории без количественной подготовки.

Климат теперь — проблема первого порядка

Историческая частота и тяжесть больше не являются надёжной основой для прогноза будущего. Частота ураганов в Северной Атлантике, кластеризация европейских штормов, тяжесть лесных пожаров на западе США, частота наводнений в большинстве внутренних бассейнов — всё это демонстрирует тренды, нарушающие допущение о стационарности, заложенное в наивную подгонку GPD. Стандартными стали два ответа на эту проблему:

1. Детрендировать историю убытков к общему климатическому базису перед подгонкой, а затем перепроецировать её на перспективный базис.
2. Наложить климатический сценарный оверлей на подогнанные параметры, опираясь на ансамбли сценариев RCP или SSP (или сценарии NGFS для банков).

Ни один из подходов не идеален. Оба лучше, чем игнорирование проблемы.

Как выглядит защитимая модель хвоста

• Выбор порога, обоснованный графиками среднего избытка и устойчивости параметров, с проверкой стабильности.
• Параметр формы, представленный с доверительным интервалом профильного правдоподобия, а не точечной оценкой.
• Неопределённость уровня возврата, представленная в виде интервала и проверенная методом бутстрэпа.
• Допущение о стационарности, проверенное и, если оно нарушено, заменённое явным детрендированием или оверлеем.
• Результаты модели, сверенные с фактическими размещениями перестрахования и любой внешней моделью поставщика, с расследованием расхождений, а не их усреднением.

Катастрофическое моделирование — одна из очень немногих областей количественных финансов, где 90% ответа содержится в последних 5% данных. Именно это делает его сложным. И именно поэтому сокращения пути здесь — единственный порог, заголовочная точечная оценка, стационарная подгонка — так дорого обходятся в тот день, когда происходит реальное событие.