Le risque de queue GPD dans les modèles catastrophe

Les modèles fréquence-sévérité sont la façon dont les assureurs, les réassureurs et, de plus en plus, les banques chiffrent les catastrophes. Le volet fréquence est relativement simple — processus de Poisson, ajustements pour surdispersion, saisonnalité. Le volet sévérité est là où les modèles gagnent leurs honoraires et perdent leur crédibilité, car la queue de distribution est l'endroit où se joue la solvabilité et où les données sont les plus rares.

L'outil de référence pour la queue est la distribution de Pareto généralisée (GPD) appliquée au-delà d'un seuil choisi — l'approche des dépassements de seuil (peaks-over-threshold) issue de la théorie des valeurs extrêmes. Sous des conditions relativement faibles, les dépassements au-dessus d'un seuil suffisamment élevé convergent vers une GPD, quelle que soit la distribution de pertes sous-jacente. C'est la bonne nouvelle. Le reste de cette note traite des aspects délicats.

Pourquoi la queue compte disproportionnellement

Pour un portefeuille catastrophe naturelle typique, la plupart des événements se situent dans un corps épais (incendies unifamiliaux, vents mineurs, inondations modestes), et un petit nombre d'événements de queue pilotent la perte au seuil de 1 pour 200 ou de 1 pour 500. Le capital réglementaire et la tarification de la réassurance s'intéressent presque exclusivement à cette queue. Bien ajuster le corps et mal ajuster la queue produit un modèle qui colle joliment à l'historique et sous-estime dramatiquement le capital.

Choisir le seuil — l'étape la plus difficile

La GPD n'est vraie qu'asymptotiquement au-dessus d'un seuil « suffisamment élevé ». Choisissez le seuil trop bas, et l'ajustement est contaminé par les données du corps ; choisissez-le trop haut, et vous manquez de dépassements, le paramètre de forme étant alors estimé sur du bruit.

Les deux diagnostics de référence :

• Le graphique de l'excès moyen (mean excess plot). Au-dessus d'un seuil valide, la moyenne des dépassements au-delà de tout niveau supérieur devrait être approximativement linéaire en fonction de ce niveau. Cherchez le point où le graphique devient stablement linéaire.
• Le graphique de stabilité des paramètres. Ajustez la GPD sur une plage de seuils et tracez le paramètre de forme ξ en fonction du seuil. Le bon seuil se situe dans une région où ξ est à peu près constant.

Aucun des deux diagnostics ne donne une réponse unique. Le choix du seuil relève du jugement, et il devrait être documenté, testé en sensibilité, et réexaminé lorsque l'historique de pertes s'allonge. Un modèle qui « re-choisit » discrètement le seuil chaque année pour maintenir des chiffres stables n'est pas vraiment un modèle de queue — c'est un exercice de lissage.

Le paramètre de forme est déterminant

Le paramètre de forme ξ de la GPD gouverne la vitesse de décroissance de la queue.

• ξ < 0 : queue bornée, les pertes ne peuvent excéder un maximum fini. Rare en modélisation catastrophe.
• ξ = 0 : queue exponentielle. Modérée.
• ξ > 0 : queue lourde de type Pareto. C'est là qu'aboutit tout portefeuille catastrophe digne d'être modélisé.

Un ξ de 0,2 contre 0,4 ne semble pas être une grande différence. Sur une période de retour de 200 ans, cela peut doubler l'estimation de perte. C'est pourquoi ξ a besoin d'un véritable intervalle de confiance — et non d'une estimation ponctuelle par maximum de vraisemblance rapportée à trois décimales — et pourquoi l'incertitude des paramètres fait partie intégrante du récit du provisionnement, et non d'une réflexion après coup.

L'incertitude des paramètres est un risque à part entière

Le nombre de dépassements de queue est faible par construction — c'est précisément ce qui en fait des événements de queue. Ajuster une GPD à deux paramètres sur 40 ou 60 dépassements donne de larges intervalles de confiance sur les deux paramètres. Ignorer cette incertitude et rapporter un chiffre unique de 1 pour 200 donne une fausse précision qui s'effondrera dès qu'un événement réel dépassera l'historique antérieur.

Deux outils pratiques :

• Les intervalles de confiance par vraisemblance profilée pour ξ et le niveau de retour. Ils sont asymétriques et honnêtes ; les intervalles fondés sur l'erreur type sous-couvrent dans le cas des queues lourdes.
• Les intervalles de niveau de retour par bootstrap. Particulièrement utiles pour communiquer l'incertitude de la queue à un public non quantitatif.

Le climat est désormais un problème de premier ordre

La fréquence et la sévérité historiques ne constituent plus une base fiable pour l'avenir. La fréquence des ouragans dans l'Atlantique Nord, la concentration des tempêtes de vent en Europe, la sévérité des feux de forêt dans l'ouest des États-Unis, la fréquence des inondations dans la plupart des bassins intérieurs — tout montre des tendances qui rompent l'hypothèse de stationnarité intégrée à un ajustement GPD naïf. Deux réponses sont devenues standard :

1. Dé-tendancer l'historique de pertes vers une référence climatique commune avant l'ajustement, puis re-projeter sur une référence prospective.
2. Superposer un ajustement de scénario climatique aux paramètres ajustés, informé par des ensembles de scénarios RCP ou SSP (ou des scénarios NGFS pour les banques).

Aucune des deux n'est parfaite. Les deux valent mieux qu'ignorer le problème.

À quoi ressemble un modèle de queue défendable

• Choix du seuil justifié par les graphiques d'excès moyen et de stabilité des paramètres, et stabilité testée.
• Paramètre de forme rapporté avec un intervalle de confiance par vraisemblance profilée, et non une estimation ponctuelle.
• Incertitude du niveau de retour communiquée sous forme d'intervalle et sondée par bootstrap.
• Hypothèse de stationnarité testée et, lorsqu'elle est rompue, remplacée par un dé-tendançage ou une superposition explicites.
• Résultats du modèle réconciliés avec les placements de réassurance réels et tout modèle de fournisseur externe, avec des divergences investiguées plutôt que lissées.

La modélisation catastrophe est l'un des très rares domaines de la finance quantitative où 90 % de la réponse se trouve dans les derniers 5 % des données. C'est ce qui la rend difficile. C'est aussi ce qui rend si coûteux les raccourcis pris ici — un seuil unique, une estimation ponctuelle mise en avant, un ajustement stationnaire — le jour où un événement réel survient.